KOMPOSISI DUA FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

Pada artikel kali ini materi yang akan dipelajari adalah tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Materi ini termasuk ke dalam salah satu pokok bahasan yang ada di dalam mata pelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas (SMA). Ada baiknya sebelum mempelajari materi ini kalian terlebih dahulu memahami teori, konsep dan jenis himpunan matematika. 

Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiap-tiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komposisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Saya mencoba merangkum materi ini dari berbagai sumber seperti yang bisa kita simak di bawah ini :

A. Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

1) Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1 :

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Contoh Soal 2 :

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan : 

a.    f o g                                     d.  (f o g) (2)

b.    g o f                                     e.  (g o f) (1) 

c.    (f o g) (4)                             f.  (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini 

a.    (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b.    (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c.    (f o g) (4) = 5 

d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan

e.    (g o f) (1) = -1

B. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

>>  Tidak Kumutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

>>  Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

>>  Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

C. Menentukan Fungsi bila Fungsi Komposisi dan Fungsi yang Lain Diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3 :

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)        =  -4x + 4

      f (g (x))        =  -4x + 4

2 (g (x)) + 2        =  -4x + 4

        2 g (x)        =  -4x + 2

           g (x)        =  -4x + 2

                                      2

           g (x)        = -2x + 1

Jadi fungsi g (x)   = -2x + 1

D. Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f ^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f ^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

>>  Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

• Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

• Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f ^-1(y)

• Ketiga

Ubah y menjadi x [f ^-1(y) menjadi f ^-1(x)]

Contoh Soal: