LOGIKA MATEMATIKA

A. Pengertian Logika

Logika Matematika
Sumber Foto: http://3.bp.blogspot.com/-UH4cQ7SuUz0/Ve0iYQRA-lI/AAAAAAAAAp8/bj8l4xcuLDA/s1600/images.png

Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.

Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.

Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.
         

Orang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles, seorang filsafat Yunani yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:
Premis 1 : Semua a adalah b
Premis 2 : Semua b adalah c
Kesimpulan : Semua a adalah c
Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada isi a, b dan c.

Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang tepat, akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan mempelajari prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.

B. Himpunan Semesta Pembicaraan

Kenapa ada himpunan semesta pembicaraan ya? Bukannya kita sekarang sedang belajar Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah disepakati.

Contoh:

"Berapa x sehingga x + 2 = 12?"

Pasti kebanyakan kita akan menjawab x = 10.

Yap, benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.

Tapi lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,

"Berapa x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari 5?"

Jika Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.

C. Kalimat = Pernyataan?

Apakah kalimat bisa dikatakan pernyataan??? Faktanya tidak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan). Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai arti ganda (ambigu).

Contoh:

• Bilangan 7 adalah bilangan prima.
• Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
• Ambilkan OHP di ruang guru!
• Astaga!
• 2x + 3 > x -1

Dari contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.

D. Operasi pada Logika Matematika

Secara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.

1) Operasi Negasi

Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata "tidak".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Negasi

Contoh:

"Pohon ini tinggi"

Pohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan atau sehingga pernyataan negasinya menjadi,

"Pohon ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini tinggi"

2) Operasi Konjungsi

Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi

Kesimpulan : Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai benar.

Contoh:

• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah

3) Operasi Disjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi

Kesimpulan : Operasi disjungsi bernilai benar apabila salah satu pernyataan tersebut bernilai benar.

Contoh:

• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah

4) Operasi Implikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi

Kesimpulan : Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Contoh:

• Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
• Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar

Contoh di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?

5) Operasi Biimplikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini "persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi

Kesimpulan : Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Contoh:

• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar

Syarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan "persyaratan".

6) Konvers

Konvers adalah kebalikan dari implikasi ditandai dengan pertukaran letak. 

Misal implikasi p → q, maka konversnya adalah q → p.

7) Invers

Invers merupakan lawan dari implikasi. Pada invers, pernyataan yang terdapat dalam pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi.

Misal implikasi p → q, maka inversnya adalah ~p → ~q.

8) Kontraposisi

Kontraposisi merupakan kebalikan dari invers sama halnya dengan konvers hanya saja pernyataannya merupakan negasi atau ingkaran. 

Misal invers ~p → ~q, maka kontraposisinya adalah ~q → ~p.

E. Kesetaraan

Kesetaraan merupakan pernyataan-pernyataan yang bernilai sama atau bermakna sama. Kesetaraan dilambangkan dengan " ≡ ".

1. ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

2. ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

3. p → q ≡ ~q → ~p

4. ~(p → q) ≡ (p ∧ ~q)

5. ~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) 

F. Pernyataan Berkuantor

Seperti yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor eksistensial).

1) Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Untuk menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "".

Contoh:

x > 0 merupakan kalimat terbuka.

Jika saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x >0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x > 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

2) Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Untuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada", "Terdapat", "Paling sedikit satu", atau "Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor khusus adalah E terbalik, ""

Contoh:

x > 1 merupakan kalimat terbuka

Jika saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x > 1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

G. Negasi Pernyataan Berkuantor

Coba kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal

Sekarang coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial

Kesimpulan : (1) Negasi universal = eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal

H. Penarikan Kesimpulan

1. Modus Ponens

p → q

p

————

∴ q

Contoh:

Diketahui pernyataan sebagai berikut:

1. Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Paris

2. Hari libur tiba

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

Pembahasan:

Misalkan:

p = Hari libur tiba

q = Rani berlibur ke Paris

Berdasarkan modus Ponens, diperoleh :

p → q

p

———

∴ q

Jadi, kesimpulan yang sah adalah Rani berlibur ke Paris

2. Modus Tollens

p → q

~q

————

∴ ~p

Contoh :

Diketahui pernyataan sebagi berikut:

1. Jika hari ini hujan, maka Lia tidak pergi ke kota

2. Lia pergi ke kota

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

Pembahasan

Misalkan :

p = Hari ini hujan

q = Lia tidak pergi ke kota

~q = Lia pergi ke kota

Berdasarkan Modus Tollens diperoleh :

p → q

~q

————

∴ ~p

Jadi, kesimpulan yang sah adalah Hari ini tidak hujan.

3. Silogisme 

p → q

q → r

————

∴ p → r

Contoh :

Diketahui pernyataan sebagi berikut :

1. Jika Tio menjadi juara kelas, maka Ibu akan membelikannya sepeda

2. Jika Ibu membelikannya sepeda, maka Tio akan senang

Tentukan kesimpulan yang sah dari dua pernyataan tersebut.

Pembahasan :

Misalkan :

p = Tio menjadi juara kelas

q = Ibu membelikannya sepeda

r = Tio senang

Berdasarkan konsep silogisme diperoleh :

p → q

q → r

————

∴ p → r

Jadi, kesimpulan yang sah adalah Jika Tio menjadi juara kelas, maka Tio akan senang.

Sumber:

http://www.ahmadkurniadi.com/2014/01/logika-matematika.html